Valori limite di una funzione analitica

L’articolo di Łojasiewicz e alcuni testi che mi sono serviti durante la sua lettura.

L’argomento di questo post è di tipo piuttosto specialistico, ed è motivato dal fatto che recentemente ho letto un vecchio articolo (forse la prima pubblicazione) di Stanisław Łojasiewicz. In questo lavoro l’autore prova un lemma molto interessante sui valori limite di una funzione analitica di una variabile complessa: detto in parole semplici, l’Autore caratterizza l’andamento qualitativo di una funzione di questo tipo al tendere del suo argomento al bordo della sua regione di definizione. Fino a poco tempo fa ignoravo l’esistenza di questo risultato, e siccome avrebbe potuto essermi molto utile nella risoluzione di alcuni problemi tecnico-scientifici ho deciso di diffonderne il riferimento bibliografico completo e una breve descrizione del suo significato in modo da aiutare, se possibile, altri. Per chi pazientemente leggerà questo post fino alle note finali, c’è inoltre una piccola sorpresa.

Il lemma.

Per iniziare come nei migliori lavori scientifici, do qui di seguito una lista delle notazioni usate:

  • Con \(\Bbb C\) indico il campo dei numeri complessi.
  • Con \(\Bbb R_{\ge 0}\) intendo l’insieme dei numeri reali maggiori o uguali a zero.
  • Con \(G\) indico un dominio (insieme aperto connesso) nel campo complesso \(\Bbb C\).
  • Con \(\zeta_0\) indico un punto della frontiera \(\partial G\) di \(G\).
  • Con \(\rho(z): G \to \Bbb R_{\ge 0}\) indico la distanza tra un punto \(z\) di \(G\) e la frontiera di \(\partial G\).
  • Con \(g(z): G \to \Bbb C\) indico una funzione analitica di una variabile complessa e con \(g^\prime(z)\) la sua derivata prima.

I concetti geometrici associati alle notazioni sono descritti nel seguente disegno:

Glossario delle notazioni geometriche usate.

L’enunciato del lemma di Łojasiewicz ([Łojasiewicz 1950], lemme II, p. 242) è questo: se esiste il limite della funzione \(g\) al tendere di \(z\) al punto di frontiera \(\zeta_0\) (ossia se \(\lim_{z \to \zeta_0} g(z)=s\)), allora esiste anche il seguente limite
$$
(z-\zeta_0) \cdot g^\prime (z) \underset{z \to \zeta_0}{\longrightarrow} 0,
$$
valutato mantenendo il rapporto \(|\zeta_0-z|/\rho(z)\) limitato al tendere di \(z\) al punto limite \(\zeta_0\).
Una prima osservazione da fare è che usando i simboli di Landau, il lemma si può riformulare dicendo che per \(z \to \zeta_0\) con \(z \in\{z \in G: |\zeta_0-z|/\rho(z)<M\}\) si ha
$$
g^\prime(z) = \omicron \left((z-\zeta_0)^{-1}\right).
$$
In definitiva ciò significa che, se la funzione \(g(z)\) ha limite al tendere di \(z\) a un dato punto della frontiera, la sua derivata prima ha, in quel punto, al massimo una singolarità che però è sempre più “debole” di un polo, e può quindi essere tranquillamente eliminata previa moltiplicazione per un fattore \((z-\zeta_0)\): e questo per ogni argomento di \(g\) contenuto nella regione \(\{z \in G: |\zeta_0-z|/\rho(z)<M\}\).

Perché è un risultato interessante?

  • Perché è uno dei rari risultati generali sui valori limite di una funzione analitica. L’enunciato richiede infatti il rispetto di una condizione blanda, e garantisce che la derivata prima ha comportamento asintotico qualitativo ben definito e controllabile in modo semplice all’interno di ben definite regioni.
  • Perché può servire a stimare il resto del troncamento della somma di una serie numerica in condizioni generali. In queste applicazioni, \(G=\Bbb D\), dove \(\Bbb D = \{z \in \Bbb C:|z|<1 \}\) è il disco unitario nel campo complesso (vale a dire il disco di raggio 1 nell’ordinario piano cartesiano \(\Bbb R^2\)), \(\zeta_0=1\) e \(g(z)\) è una serie di potenze. E non proseguo oltre perché altrimenti il contenuto tecnico della spiegazione necessaria alla comprensione di questo punto raggiungerebbe livelli inaccettabili per gli inesperti.

Note finali

  • Ho associato pagine di spiegazione in inglese ai link di approfondimento disseminati nel testo perché pagine le equivalenti in lingua italiana o sono del tutto assenti o hanno qualità inferiore.
  • La dimostrazione del lemma è brevissima. In tutto sono 12 righe, formule comprese, e la sua comprensione richiede solo conoscenze standard di analisi complessa, note dai corsi universitari.
  • La conclusione del lemma vale con ipotesi più generali ed opportuni aggiustamenti: in particolare non è necessario che sia \(\lim_{z \to \zeta_0} g(z)=s\) tout court, ma è sufficiente che sia
    $$
    \lim_{\substack{z \to \zeta_0\\ z \in \Gamma_\theta^\varepsilon(\zeta_0,M)}} g(z)=s
    $$ dove \(\Gamma_\theta^\varepsilon(\zeta_0,M)\) è una opportuna regione interamente contenuta in \(G\).
  • Nella sezione bibliografica qui di seguito ho riportato i link sia ad una copia digitale dell’articolo che alle sue recensioni sul Mathematical Reviews e sullo zbMATH Open: la copia digitale non è accessibile al di fuori dell’Istituto di Matematica dell’Accademia delle Scienze Polacca. Se però vi interessa approfondire l’argomento, qui potrete leggere una mia nota (in lingua inglese e formato .pdf) che include il risultato di Łojasiewicz con l’esatta dimostrazione originale e l’estensione accennata al punto precedente, insieme a qualche ulteriore considerazione.

Riferimento bibliografico

[Lojasiewicz 1950]
Stanisław Łojasiewicz, Une demonstration du théorème de Fatou, Annales de la Société Polonaise de Mathématique/Rocznik Polskiego Towarzystwa Matematycznego, 1950, Vol. 22, pp. 241-244, MR0038429, Zbl 0035.33901.